Question

正三棱臺的上、下底邊長為2和4．
（Ⅰ）若該正三棱臺的高為 1，求此三棱臺的側(cè)面積
（Ⅱ）若側(cè)面與底面所成的角是60°，求此三棱臺的體積；
參考公式：臺體的體積公式V_臺體=．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取A₁B₁，AB中點D₁，DO₁，O分別為△A₁B₁C₁，△ABC的中心，過D₁作D₁M⊥DC，利用三棱臺的側(cè)面積公式，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）確定臺體的高，再確定上、下底的面積，即可求此三棱臺的體積．
解答：解：（Ⅰ）取A₁B₁，AB中點D₁，D，O₁，O分別為△A₁B₁C₁，△ABC的中心，過D₁作D₁M⊥DC，則D₁C₁=，DC=2 ，從而D₁O₁=，DO=，
∴DM=，
∵D₁M=1，∴D₁D=
∴S_側(cè)=3×=6 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在直角△D₁DM中，∠D₁DM=60°，即側(cè)面與底面所成的角，故臺體的高為1，
∵正三棱臺的上、下底邊長為2和4
∴S_△A1B1C1=，S_△ABC=4
∴V_臺=×1×（++4）=．
點評：本題考查求此三棱臺的側(cè)面積、體積，考查學生的計算能力，屬于中檔題．