Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1．
（I）證明：面PAD⊥面PCD；
（II）求AC與PB所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，我們由三垂線定理，得CD⊥PD，結(jié)合線面垂直判定定理，可以得到CD⊥平面PAD，進(jìn)而由面面垂直的判定定理，可以得到面PAD⊥面PCD；
（II）過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，連接AE．則∠PBE是AC與PB所成的角，解三角形PBE，即可得到AC與PB所成角的余弦值．
解答：解：（I）證明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂線定理，得CD⊥PD，
∵CD⊥AD，CD⊥PD，且PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（II）過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，連接AE．
則∠PBE是AC與PB所成的角，（5分）
可求得AC=CB=BE=EA=．（6分）
又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形，∴BE⊥AE，
∵PA⊥底面ABCD．∴PA⊥BE，
∴BE⊥面PAE．
∴BE⊥PE，即∠PEB=90°
在Rt△PAB中，得PB=．（9分）
在Rt△PEB中，．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，求異面直線夾角時(shí)，通過(guò)平移將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題是解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．