Question

函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定φ（A，B）=

|kA-kB|

|AB|

叫曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，給出以下命題：
（1）函數(shù)y=x³-x²+1圖象上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1，2，則φ（A，B）＞

3

；
（2）存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；
（3）設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線，y=x²+1上不同的兩點(diǎn)，則φ（A，B）≤2；
（4）設(shè)曲線y=e^x上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，1）；
以上正確命題的序號(hào)為

 

（寫出所有正確的）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由新定義，利用導(dǎo)數(shù)逐一求出函數(shù)y=x³-x²+1、y=x²+1在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”判斷（1）、（3）；舉例說明（2）正確；求出曲線y=e^x上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“彎曲度”，然后結(jié)合t•φ（A，B）＜1得不等式，舉反例說明（4）錯(cuò)誤．

解答： 解：對(duì)于（1），由y=x³-x²+1，得y′=3x²-2x，
則kA=y′|x=1=1，kB=y′|x=2=8，
y₁=1，y₂=5，則|AB|=

(2-1)2+(5-1)2

=

17

，
φ（A，B）=

|kA-kB|

|AB|

=

|8-1|

17

=

7

17

＜

3

，（1）錯(cuò)誤；
對(duì)于（2），常數(shù)函數(shù)y=1滿足圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)，（2）正確；
對(duì)于（3），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y′=2x，
則k_A-k_B=2x₁-2x₂，|AB|=

(x1-x2)2+(x12-x22)2

=

(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]

=|x1-x2|

1+(x1+x2)2

．
∴φ（A，B）=

|kA-kB|

|x1-x2| 1+(x1+x2)2

=

2|x1-x2|

|x1-x2| 1+(x1+x2)2

≤

2

1

=2，（3）正確；
對(duì)于（4），由y=e^x，得y′=e^x，φ（A，B）=

|ex1-ex2|

(x1-x2)2+(ex1-ex2)2

=

|ex1-ex2|

1+(ex1-ex2)2

．
t•φ（A，B）＜1恒成立，即t|ex1-ex2|＜

1+(ex1-ex2)2

恒成立，t=1時(shí)該式成立，∴（4）錯(cuò)誤．
故答案為：（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)恒成立問題，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．