Question

（2012•房山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，BE⊥平面ABCD，EB∥FA，F(xiàn)A=AB=

1

2

EB．
（I）證明：平面AFD⊥平面AFB；
（II）求異面直線ED與CF所成角的余弦值；
（III）求直線EC與平面BCF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）要證明平面AFD⊥平面AFB，可證AD⊥平面AFB，只需證明AD⊥AB（由已知易證），AD⊥FA（轉(zhuǎn)化為FA⊥平面ABCD即可證得）；
（II）以B為原點，BE，BA，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設EB=2，則AF=AB=1，可求得直線ED的方向向量

ED

，直線CF的方向向量為

CF

，則直線ED與CF所成的角的余弦值可轉(zhuǎn)化為兩方向向量的夾角余弦值求解；
（III）由（II）可得直線EC的方向向量

EC

，及

BC

，

BF

，設平面BCF的法向量為

n

=（x，y，z），由法向量的性質(zhì)可求得

n

，則直線EC與平面BCF所成的角的正弦值即為

EC

與法向量夾角余弦值的絕對值；

解答：（I）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD⊥AB，
∵BE⊥平面ABCD，EB∥FA，
∴FA⊥平面ABCD，∵AD?平面ABCD，∴FA⊥AD，
∵AB，F(xiàn)A?平面AFB，AB∩FA=A，
∴AD⊥平面AFB，∵AD?平面AFD，∴平面AFD⊥平面AFB；
（II）以B為原點，BE，BA，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設EB=2，則AF=AB=1，
故E（2，0，0），D（0，1，1），C（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），B（0，0，0），
∴直線ED的方向向量為

ED

=（-2，1，1），直線CF的方向向量為

CF

=（1，1，-1），
設直線ED與CF所成的角為θ，則cosθ=|

ED • CF

| ED || CF |

|=

3

3

；
（III）直線EC的方向向量為

EC

=（-2，0，1），

BC

=（0，0，1），

BF

=（1，1，0），
設平面BCF的法向量為

n

=（x，y，z），則

BC • n =0 BF • n =0

，故

z=0 x+y=0

，取

x=1 y=-1 z=0

，則

n

=（1，-1，0），
設直線EC與平面BCF所成的角為α，則sinα=|

EC • n

| EC || n |

|=

10

5

．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定、異面直線所成的角、直線與平面所成的角，考查空間向量在立體幾何中的應用，考查學生的轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力及邏輯推理能力．