Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽 的奇函數(shù)，且滿足f(x-2)=-f(x)對(duì)一切x∈R恒成立，當(dāng)

-1≤x≤1時(shí)，f(x)=x³。則下列四個(gè)命題：①f(x)是以4為周期的周期函數(shù)；②f(x)在[1，3]上的解析式為f(x)=(2-x)³；③f(x)在處的切線方程為3x+4y-5=0；④f(x)的圖像的對(duì)稱軸中有x=±1.其中正確的命題是          （    ）

       A．① ② ③    B．② ③  ④     C．① ③ ④       D．① ② ③ ④

Answer 1

D

解析:

∵f(x-2)=-f(x)對(duì)一切x∈R恒成立，∴f(x)=- f(x-2)=-[ - f(x-2-2)]= f(x-4)，∴ f(x+4)= f(x+4-4)= f(x)，因此f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，①正確；當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，2-x∈[-1，1]，因此f(x)=- f(x-2)= f(2-x)= (2-x)³，②正確；由∈[1，3]，知f(x)=(2-x)³，，又，故切線方程為，即，③正確；

由f(x-2)=-f(x)= f(-x)得f(-1-x)=f(-1+x)，所以f(x)的圖像的有對(duì)稱軸x=-1，

由f(x+2)=-f(x+2-2)=-f(x)得，f(1-x)=f(1+x) 所以f(x)的圖像的有對(duì)稱軸x= 1，

所以④正確，選擇D