Question

已知拋物線C：y=2x²，直線y=kx+2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作軸的垂線交C于點N．  
（1）求三角形OAB面積的最小值；
（2）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；
（3）是否存在實數(shù)k使NANB，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求三角形OAB面積的最小值，先表示出面積S=

1

2

AB•d（d為O到直線AB的距離），結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求可求
（2）要證明拋物線C在點N處的切線與AB平行，只要證明切線的斜率與直線AB得斜率相等
（法一）：把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，由韋達(dá)定理可求N點的坐標(biāo)為(

k

4

，

k2

8

)．可設(shè)在點N處的切線l的方程為y-

k2

8

=m(x-

k

4

)，將y=2x²代入整理，由直線l與拋物線C相切，可得△=0
（法二）：把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0．由韋達(dá)定理可求N點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)可求拋物線在點N處的切線l的斜率
（3）（法一）假設(shè)存在實數(shù)k，使

NA

•

NB

=0，則NA⊥NB，結(jié)合已知M是AB的中點，可得|MN|=

1

2

|AB|，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式代入可求k
（法二）假設(shè)存在實數(shù)k，使

NA

•

NB

=0結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求k

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），O到直線AB的距離為d=

2

1+k2

聯(lián)立方程

y=kx+2 y=2x2

整理可得2x²-kx-2=0
則x1+x2=

k

2

，x1x2=-1
∴AB=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)( k2 4 +4)

S△OAB=

1

2

AB•d=

1

2

×

(1+k2)(4+ k2 4 )

×

2

1+k2

=

4+ k2 4

≥2
面積S的最小值為2
解法一：（2）如圖，設(shè)A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=

k

2

，x₁x₂=-1，x_N=x_M=

x1+x2

2

=

k

4

，
N點的坐標(biāo)為(

k

4

，

k2

8

)．
設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為y-

k2

8

=m(x-

k

4

)，
將y=2x²代入上式得2x²-mx+

mk

4

-

k2

8

=0，
直線l與拋物線C相切，∴△=m2-8(

mk

4

-

k2

8

)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，
∴m=k．即l∥AB．
（2）假設(shè)存在實數(shù)k，使

NA

•

NB

=0，則NA⊥NB，又∵M(jìn)是AB的中點，∴|MN|=

1

2

|AB|．
由（Ⅰ）知y_M=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(kx1+2+kx2+2)=

1

2

[k(x1+x2)+4]=

1

2

(

k2

2

+4)=

k2

4

+2
∵M(jìn)N⊥軸，∴|MN|=|y_M-y_N|=

k2

4

+2-

k2

8

=

k2+16

8

．
又|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( k 2 )2-4×(-1)

=

1

2

k2+1

•

k2+16

．
∴

k2+16

8

=

1

4

k2+1

•

k2+16

，解得k=±2．  
即存在k=±2，使

NA

•

NB

=0．
解法二：（1）如圖，設(shè)A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=

k

2

，x1x2=-1．x_N=x_M=

x1+x2

2

=

k

4

，
N點的坐標(biāo)為(

k

4

，

k2

8

)．∵y=2x²，∴y'=4x，
拋物線在點N處的切線l的斜率為4×

k

4

=k，∴l(xiāng)∥AB．
（2）假設(shè)存在實數(shù)k，使

NA

•

NB

=0．
由（1）知

NA

=(x1-

k

4

，2

x

2 1

-

k2

8

)，

NB

=(x2-

k

4

，2

x

2 2

-

k2

8

)，則

NA

•

NB

=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)+(2

x

2 1

-

k2

8

)(2

x

2 2

-

k2

8

)
=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)+4(

x

2 1

-

k2

16

)(

x

2 2

-

k2

16

)
=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)•[1+4(x1+

k

4

)(x2+

k

4

)]
=[x1x2-

k

4

(x1+x2)+

k2

16

]•[1+4x1x2+k(x1+x2)+

k2

4

]
=(-1-

k

4

×

k

2

+

k2

16

)•[1+4×(-1)+k×

k

2

+

k2

4

]
=(-1-

k2

16

)(-3+

3

4

k2)=0，
∵-1-

k2

16

＜0，∴-3+

3

4

k2=0，解得k=±2．
即存在k=±2，使

NA

•

NB

=0．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系，這是處理這類問題的最為長用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運算推理的能力