Question

已知函數(shù).

（1）是否存在點，使得函數(shù)的圖像上任意一點P關(guān)于點M對稱的點Q也在函數(shù)的圖像上？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（2）定義，其中，求；

（3）在（2）的條件下，令，若不等式對且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）存在，且點的坐標(biāo)為；（2）；（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）先假設(shè)點的坐標(biāo)，根據(jù)圖象對稱的定義列式求出點的坐標(biāo)即可；（2）利用（1）中條件的條件，并注意到定義中第項與倒數(shù)第項的和這一條件，并利用倒序相加法即可求出的表達(dá)式，進而可以求出的值；（3）先利用和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，然后在不等式中將與含的代數(shù)式進行分離，轉(zhuǎn)化為恒成立的問題進行處理，最終利用導(dǎo)數(shù)或作差（商）法，通過利用數(shù)列的單調(diào)性求出的最小值，最終求出實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）假設(shè)存在點，使得函數(shù)的圖像上任意一點P關(guān)于點M對稱的點Q也在函數(shù)的圖像上，則函數(shù)圖像的對稱中心為.

由，得，

即對恒成立，所以解得

所以存在點，使得函數(shù)的圖像上任意一點關(guān)于點M對稱的點也在函數(shù)的圖像上.

（2）由（1）得.

令，則.

因為①，

所以②，

由①+②得，所以.

所以.

（3）由（2）得，所以.

因為當(dāng)且時，.

所以當(dāng)且時，不等式恒成立.

設(shè)，則.

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.

因為，所以，

所以當(dāng)且時，.

由，得，解得.

所以實數(shù)的取值范圍是.

考點：函數(shù)的對稱性、倒序相加法、導(dǎo)數(shù)