Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3：
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t．

Answer 1

分析：（1）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，得到函數(shù)f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，則f（-1）•f（1）≤0，由此可解q的取值范圍；
（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三種情況進(jìn)行討論，對(duì)于每一種情況，由區(qū)間長度是12-t求出t的值，驗(yàn)證范圍后即可得到答案．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3的對(duì)稱軸是x=8
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減
∴要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，須滿足f（-1）•f（1）≤0．
即（1+16+q+3）•（1-16+q+3）≤0
解得-20≤q≤12．
所以使函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)的實(shí)數(shù)q的取值范圍是[-20，12]；
（2）當(dāng)

t＜8 8-t≥10-8 t≥0

時(shí)，即0≤t≤6時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋篬f（8），f（t）]，
即[q-61，t²-16t+q+3]．
∴t²-16t+q+3-（q-61）=t²-16t+64=12-t．
∴t²-15t+52=0，∴t=

15± 17

2

．
經(jīng)檢驗(yàn)t=

15± 17

2

不合題意，舍去．
當(dāng)

t＜8 8-t＜10-8 t≥0

時(shí)，即6≤t＜8時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋篬f（8），f（10）]，
即[q-61，q-57]．
∴q-57-（q-61）=4=12-t．
∴t=8
經(jīng)檢驗(yàn)t=8不合題意，舍去．
當(dāng)t≥8時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋篬f（t），f（10）]，
即[t²-16t+q+3，q-57]
∴q-57-（t²-16t+q+3）=-t²+16t-60=12-t
∴t²-17t+72=0，∴t=8或t=9．
經(jīng)檢驗(yàn)t=8或t=9滿足題意，
所以存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，正確的分類是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．