Question

設(shè)函數(shù)

   （I）若的極值點，求實數(shù)；

   （II）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立，注：為自然對數(shù)的底數(shù)。

Answer 1

本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，不等式等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論分析問題和解決問題的能力。滿分14分。

   （I）解：求導(dǎo)得

因為的極值點，

所以

解得經(jīng)檢驗，符合題意，

所以

（II）解：①當(dāng)時，對于任意的實數(shù)a，恒有成立；

②當(dāng)時，由題意，首先有，

解得，

由（I）知

令

且

又內(nèi)單調(diào)遞增

所以函數(shù)內(nèi)有唯一零點，

記此零點為

從而，當(dāng)時，

當(dāng)

當(dāng)時，

即內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

在內(nèi)單調(diào)遞增。

所以要使恒成立，只要

成立。

由，知

                                  （3）

將（3）代入（1）得

又，注意到函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，

故。

再由（3）以及函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，可得

由（2）解得，

所以

綜上，a的取值范圍是