Question

若正數數列{a_n}滿足，其中S_n是數列{a_n}的前n項和．
（1）求S_n；
（2）若，是否存在b_k=b_m（k≠m）？若存在，求出所有相等的兩項；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1，及a_n＞0，可求a₁，由可得，即S_n²-S_n-1²=1，則可得{S_n²}是以1首項，以1為公差的等差數列，由等差數列的通項可求S_n²，進而可求S_n
（2）由（1）可得，要判斷k≠m是否存在b_k=b_m，考慮函數（x≥1）的單調性，結合導數的知識可求
解答：解：（1）令n=1，又a_n＞0，得a₁=1．
∵，即
∴S_n²-S_n-1²=1，S₁²=a₁²=1
∴{S_n²}是以1為首項，以1為公差的等差數列
∴S_n²=S₁²+（n-1）•1=1+n-1=n
∴．
（2），則考慮函數（x≥1），則．
令h（x）=x+1+xlnx（x≥1），則h'（x）=-lnx≤0，∴h（x）在[1，+∞）遞減
∵h（1）=2＞0，h（2）=3-2ln2＞0，h（3）=4-3ln3＞0，h（4）=5-4ln4＜0
∴x≥4時，h（x）≤h（4）＜0，則g'（x）＜0，g（x）在[4，+∞）遞減；
1≤x≤3時，h（x）≥h（3）＞0，則g'（x）＞0，g（x）在[1，3]遞增．
∴g（1）＜g（2）＜g（3），g（4）＞g（5）＞g（6）＞…
即lnb₁＜lnb₂＜lnb₃，lnb₄＞lnb₅＞lnb₆＞…
∴b₁＜b₂＜b₃，b₄＞b₅＞b₆＞…
∵
∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞…
又b₁=1，當n≠1時，b_n＞1．
∴若存在兩項相等，只可能是b₂、b₃與后面的項相等
又，∴b₂=b₈
∵，∴數列b_n中存在唯一相等的兩項b₂=b₈
點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，等差數列的通項公式的應用及利用函數的導數判斷函數的單調性及數列單調性的應用，屬于函數與數列的綜合應用的考查．