Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小正周期是．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）-a²＞2a在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，合并后給前兩項提取后，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)f（x）的最小正周期及周期公式即可求出ω的值；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ+，2kπ+]列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）由f（x）-a²＞2a變形可得f（x）大于a²+2a，根據(jù)x的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，由求出的最小值及不等式恒成立的條件即可列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1

由函數(shù)f（x）的最小正周期是，可得，所以ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
當(dāng)，即時，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：；
（Ⅲ）∵f（x）-a²＞2a，
∴a²+2a＜f（x），
∵，即，
∴，
∴f（x）有最小值為3，
由a²+2a＜f（x）恒成立，得a²+2a＜3，
∴-3＜a＜1
實數(shù)a的取值范圍是（-3，1）．
點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及三角形的最值，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把f（x）化為一個角的正弦函數(shù)，進(jìn)而求出ω，確定出f（x）的解析式是本題的突破點，同時第三問的難點在于理解不等式恒成立滿足的條件，要使a²+2a＜f（x）恒成立，即要求出f（x）的最小值，然后讓最小值大于a²+2a．