某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關系式y+10(x-6)2. 其中3<x<6,a為常數(shù). 已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克.

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

 

【答案】

(1)2;(2)當銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

【解析】本試題主要考查了函數(shù)在實際生活中的運用。第一問中,x=5時,y=11,所以,+10=11,a=2,可得結論。第二問中,由(1)可知,該商品每日的銷售量y+10(x-6)2,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為

f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,(3<x<6)然后求導數(shù),利用極值得到最值。

解:(Ⅰ)因為x=5時,y=11,所以,+10=11,a=2.      ………………………3分

(Ⅱ)由(1)可知,該商品每日的銷售量y+10(x-6)2,

所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為

f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,(3<x<6)    ……………………5分

從而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),

f′(x)=0,得x=4或x=6(舍去).             ………………………………………6分

因為當x∈(3,4)時,f′(x)>0,當x∈(4,6)時,f′(x)<0,

所以f (x)在(3,6)取得唯一的極大值,也就是最大值, …………………………………10分

所以,當x=4時,函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42.       ……………………11分

答:當銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.   …………12分

 

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某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關系式y(tǒng)=
ax-3
+10(x-6)2,其中3<x<6,a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克.
(Ⅰ)求a的值;
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