Question

5．已知Rt△ABC的周長為定值l，則它的面積最大值為$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 設三邊法不為a，b，c，c為斜邊，則c²=a²+b²．由a+b+c=1，可得a²+b²=（1-a-b）²，化為：1-2a-2b+2ab=0，變形1+2ab=2（a+b），再利用基本不等式的性質(zhì)與三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：設三邊為a，b，c，c為斜邊，則c²=a²+b²．
∵a+b+c=1，
∴a²+b²=（1-a-b）²，化為：
1-2a-2b+2ab=0，
∴1+2ab=2（a+b）≥4$\sqrt{ab}$，化為：$2（\sqrt{ab}）^{2}$-4$\sqrt{ab}$+1≥0，解得$\sqrt{ab}$≥$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，（舍去），
或$\sqrt{ab}$≤$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，即ab≤$（\frac{2-\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$．當且僅當a=b=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$時取等號．
∴它的面積最大值=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)與三角形面積計算公式、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．