Question

如下圖，在△OAB中，|OA|=|OB|=4，點P分線段AB所成的比為3：1，以OA、OB所在直線為漸近線的雙曲線M恰好經過點P，且離心率為2．
（1）求雙曲線M的標準方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線M交于不同的兩點E、F，且E、F兩點都在以Q（0，-3）為圓心的同一圓上，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)曲線M的離心率為2，可設雙曲線M的方程為，從而可得∠BOx=60°，可求得B（2，2），A（2，），根據(jù)點P分線段AB所成的比為3：1得P（2，），代入雙曲線方程，即可求出雙曲線M的方程；
（2）將執(zhí)行方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得（k²-3）x²+2kmx+m²+9=0
根據(jù)直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線M交于不同的兩點，可得，從而有 
利用E、F兩點都在以Q（0，-3）為圓心的同一圓上，所以NQ⊥EF，從而
由此得，從而求出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）因為曲線M的離心率為2，所以可設雙曲線M的方程為
由此可得漸近線的斜率k=
∴∠BOx=60°，
從而B（2，2），A（2，）
又因為點P分線段AB所成的比為3：1
故P（2，），代入雙曲線方程得a²=3，
故雙曲線M的方程為：
（2）如圖所示，由⇒（k²-3）x²+2kmx+m²+9=0
設E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），線段EF的中點為N（x，y），則有
⇒ ①
由韋達定理得
因為E、F兩點都在以Q（0，-3）為圓心的同一圓上，所以NQ⊥EF，
即
∴3k²=4m+9    ②
由①②得
∴m＞4或
點評：本題以雙曲線的幾何性質為載體，考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，有難度．