Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），由f′（1）=0即可求得a值；
（2）在函數(shù)定義域內(nèi)先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由此得其極值點(diǎn)

1

a

，按極值點(diǎn)與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系分三種情況討論：①當(dāng)0＜

1

a

≤1，②當(dāng)1＜

1

a

＜2，③當(dāng)

1

a

≥2，借助單調(diào)性即可求得其最大值；

解答：解 （1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），所以f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

．    
因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，
所以f′（1）=1-a=0，解得a=1．
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1符合題意．
（2）f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，x＞0．
令f′（x）=0得x=

1

a

．因?yàn)閤∈（0，

1

a

）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

1

a

）上遞增，在（

1

a

，+∞）上遞減，
①當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時(shí)，f（x）取最大值f（1）=-a；
②當(dāng)1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，

1

a

）上遞增，在（ 

1

a

，2）上遞減，
所以x=

1

a

時(shí)，f（x）取最大值f（

1

a

）=-lna-1；
③當(dāng)

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

時(shí)，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時(shí)，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a；
綜上，①當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，f（x）最大值為ln2-2a；②當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x）最大值為-lna-1．
③當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）最大值為-a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．