Question

若P（2，-1）為曲線(xiàn)

x=1+5cosθ y=5sinθ

（0≤θ＜2π）的弦的中點(diǎn)，則該弦所在直線(xiàn)的普通方程為

x-y-3=0

．

Answer 1

分析：由曲線(xiàn)

x=1+5cosθ y=5sinθ

（0≤θ＜2π），知（x-1）²+y²=25，再由P（2，-1）為曲線(xiàn)

x=1+5cosθ y=5sinθ

（0≤θ＜2π）的弦的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法能夠求出該弦所在直線(xiàn)的普通方程．

解答：解：∵曲線(xiàn)

x=1+5cosθ y=5sinθ

（0≤θ＜2π），
∴（x-1）²+y²=25，
∵P（2，-1）為曲線(xiàn)

x=1+5cosθ y=5sinθ

（0≤θ＜2π）的弦的中點(diǎn)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)P（2，-1）的弦與（x-1）²+y²=25交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x1+x2=4 y1+y2=-2

，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入（x-1）²+y²=25，
得

(x1-1)2+ y   1 2=25 (x2-1)2+y22=25

，
∴

x12-2x1+1+y12=25，① x22-2x2+1+y22=25，②

，
①-②，得4（x₁-x₂）-2（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴該弦所在直線(xiàn)的普通方程為y+1=x-2，
即x-y-3=0．
故答案為：x-y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程和普通方程的相互轉(zhuǎn)化和點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．