Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成銳二面角的大�。�

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD．
又∵CD∩DE=D，AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：平面ACD⊥平面CDE．
取CE的中點(diǎn)Q，連接FQ，∴FQ∥DE，
∴FQ⊥平面ACD．于是可得FD，F(xiàn)Q，F(xiàn)A兩兩垂直，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則F（0，0，0），C（-1，0，0），A，B，E（1，2，0）．
∴，，
設(shè)平面BCE的法向量，則，化為，
令x=1，則y=-1，z=0，∴，
∵FQ⊥平面ACD，于是可取平面ACD的法向量為．
．
∴===．
∴平面ACD和平面BCE所成銳二面角為45°．
分析：（Ⅰ）利用等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量所成的夾角即可得出二面角的大�。�
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、面面、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩個(gè)平面的法向量所成的夾角求二面角的方法是解題的關(guān)鍵．