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設向量
a
=(4cosα，sinα)，
b
=(sinβ，4cosβ)，
c
=(cosβ，-4sinβ)
（1）若
a
與
b
-2
c
垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|
b
+
c
|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求證：
a
∥
b
．
（1）∵
b
-2
c
=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），
a
與
b
-2
c
垂直，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ-sinαsinβ），
∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．
（2）∵
b
+
c
=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴|
b
+
c
|=
(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=
1+2sinβcosβ+16-32cosβsinβ
=
17-15sin2β
，
∴當sin2β=-1時，|
b
+
c
|取最大值，且最大值為
32
=4
2
．
（3）∵tanαtanβ=16，∴
sinα
cosα
•
sinβ
cosβ
=16，即sinαsinβ=16cosαcosβ，
∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，
即
a
=（4cosα，sinα）與
b
=（sinβ，4cosβ）共線，
∴
a
∥
b
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設向量
a
=(4cosα，sinα)，
b
=(sinβ，4cosβ)，
c
=(cosβ，-4sinβ)
（1）若
a
與
b
-2
c
垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|
b
+
c
|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求證：
a
∥
b
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設向量
a
=(4cosα，sinα)，
b
=(sinβ，4cosβ)，
c
=(cosβ，-4sinβ)，
（1）若
a
⊥(
b
-2
c
)，求tan（α+β）的值
（2）若tanαtanβ=16，證明：
a
∥
b
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設向量
a
=(4cosα， sinα)，
b
=(sinβ， 4cosβ)，
c
=(cosβ， -4sinβ)
（1）求|
b
+
c
|的最大值；
（2）若
a
與
b
-2
c
垂直，求tan（α+β）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設向量
a
=(4cosα，sinα)，
b
=(sinβ，4cosβ)，
c
=(cosβ-4sinβ)，若
a
與
b
-
2c
垂直，則tan（α+β）的值為
2
2
．

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