Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且滿足a_n+1=3a_n+1，n∈N，求數(shù)列{a_n}的
（1）通項公式a_n   
（2）前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3a_n+1得，a_n+1+

1

2

=3（a_n+

1

2

），易判斷{a_n+

1

2

}是等比數(shù)列，從而可求得a_n+

1

2

，進(jìn)而可求a_n；
（2）由（1）可表示出S_n，分組后分別運用等比、等差數(shù)列求和公式即可求得；

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n+1得，a_n+1+

1

2

=3（a_n+

1

2

），
又a₁+

1

2

=1+

1

2

=

3

2

，所以數(shù)列{a_n+

1

2

}各項不為0，
所以數(shù)列{a_n+

1

2

}是以

3

2

為首項、3為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+

1

2

=

3

2

•3n-1=

1

2

•3n，
所以an=

1

2

(3n-1)；
（2）由（1）得
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

2

（3-1）+

1

2

(32-1)+…+

1

2

（3ⁿ-1）
=

1

2

[（3+3²+…+3ⁿ）-n]
=

1

2

•

3(1-3n)

1-3

-

1

2

n
=

1

4

•3n+1-

1

2

n-

3

4

．

點評：本題考查利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項公式，考查等比、等差數(shù)列的通項公式及求和公式，屬中檔題．