Question

已知sinα+cosα=

1

5

，α∈[0，π]，則tanα=（　　）

• A．-

  4

  3

• B．-

  3

  4

• C．

  3

  4

• D．

  4

  3

Answer 1

分析：將已知等式記作①，左右兩邊平方，利用同角三角函數間的基本關系化簡求出2sinαcosα的值，并根據2sinαcosα的值為負數及α的范圍得到sinα大于0，cosα小于0，進而得到sinα-cosα大于0，然后利用完全平方公式及同角三角函數間的基本關系化簡（sinα-cosα）²，將2sinαcosα的值代入求出（sinα-cosα）²的值，開方求出sinα-cosα的值，記作②，聯(lián)立①②求出sinα與cosα的值，然后將所求的式子利用同角三角函數間的基本關系弦化切，即可求出tanα的值．

解答：解：將sinα+cosα=

1

5

①，左右兩邊平方得：（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=

1

25

，
又sin²α+cos²α=1，∴1+2sinαcosα=

1

25

，即2sinαcosα=-

24

25

＜0，
又α∈[0，π]，∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
∴（sinα-cosα）²=sin²α+cos²α-2sinαcosα=1-2sinαcosα=

49

25

，
∴sinα-cosα=

7

5

②，或sinα-cosα=-

7

5

（舍去），
聯(lián)立①②解得：sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
則tanα=

sinα

cosα

=-

4

3

．
故選A

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，以及完全平方公式的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．