Question

設函數(shù)y=f（x）的定義域為R，并且滿足f（x+y）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1，且當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)滿足f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，能求出f（0）．
（2）由y=f（x）的定義域為R，f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，令y=-x，能推導出f（x）是奇函數(shù)．
（3）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函數(shù)的單調(diào)性，進而將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可求解．

解答：解：（1）∵函數(shù)滿足f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．
∴f（0）=0．…3分．
（2）∵y=f（x）的定義域為R，
f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，
∴y=-x，得f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（x）是奇函數(shù)．…6分
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1，且當x＞0時，f（x）＞0．
f（x₁）=f（x₂）+f（x₁-x₂），令x₁＞x₂，則f（x₁）＞f（x₂），所以函數(shù)單調(diào)遞增，
∵f（x）+f（2+x）＜2，
∴f(x+2+x)＜f(

2

3

)∴2x+2＜

2

3

∴x＜-

2

3

，
∴x取值范圍是（-∞，-

2

3

）．…12分

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查解不等式，考查賦值法的運用，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．