在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．
（1）求C的大�。�
（2）求sinA+sinB的最大值．
分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，再由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sin（A+C）=sinB，把化簡后的等式左邊再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，將sin（A+C）化為sinB，根據(jù)A和C為三角形的內(nèi)角，得到cosC為0，進(jìn)而得到C為直角；
（2）由（1）得到C為直角，可得A與B互余，用A表示出B，代入所求的式子sinA+sinB中，利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A為銳角，得到這個(gè)角的范圍，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到所求式子的最大值．
解答：解：（1）由正弦定理及2acosC+ccosA=b得：
2sinAcosC+sinCcosA=sinB，
在△ABC中，A+B+C=π，
∴A+C=π-B，即sin（A+C）=sinB，
∴2sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB，
∴sinAcosC=0，又0＜A＜π，0＜C＜π，
∴sinA＞0，cosC=0，
則C=
π
2
；
（2）由（1）得C=
π
2
，則有A+B=
π
2
，即B=
π
2
-A，
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin（A+
π
4
），
又0＜A＜
π
2
，∴
π
4
＜A+
π
4
＜
3π
4
，
則當(dāng)A+
π
4
=
π
2
，即A=
π
4
時(shí)，sinA+sinB取得最大值，最大值為
2
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域及值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，正弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，故利用正弦定理化簡已知的等式是本題的突破點(diǎn)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•臨沂一模）已知函數(shù)f(x)=cos
x
2
-
3
sin
x
2
．
（I）若x∈[-2π，2π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若f(2A-
2
3
π)=
4
3
，sinB=
5
cosC，a=
2
，求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•煙臺(tái)二模）在△ABC中，a、b、c為角A、B、C所對(duì)的三邊．已知b2+c2-a2=bc
（1）求角A的值；
（2）若a=
3
，設(shè)內(nèi)角B為x，周長為y，求y=f（x）的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•保定一模）在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，三邊a、b、c成等差數(shù)列，且B=
π
4
，則（cosA一cosC）2的值為
2
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c設(shè)向量
m
=（a，cosB），
n
=（b，cosA）且
m
∥
n
，
m
≠
n

（Ⅰ）若sinA+sinB=
6
2
，求A；
（Ⅱ）若△ABC的外接圓半徑為1，且abx=a+b試確定x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=
7
，∠B=
π
3
，則△ABC的面積為（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案