如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2.
(1)求證:平面PBC⊥平面PAB;
(2)若∠PDC=120°,求四棱錐P-ABCD的體積.
分析:(1)由PA⊥底面ABCD,根據(jù)線面垂直的定義得PA⊥BC,結(jié)合AB⊥BC得BC⊥平面PAB,再根據(jù)面面垂直判定定理,即可證出平面PBC⊥平面PAB;
(2)設(shè)PA=x,根據(jù)題中數(shù)據(jù)利用勾股定理算出PC=
5+x2
且PD=
2+x2
.△PDC中,根據(jù)余弦定理建立關(guān)于x的等式,解出x的值得PA=
2
,算出梯形ABCD的面積并利用錐體的體積公式,即可算出四棱錐P-ABCD的體積.
解答:解:(1)∵PA⊥底面ABCD,BC?底面ABCD,∴PA⊥BC,
∵AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,
∵BC?平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB;
(2)取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、AC,設(shè)PA=x,
∵直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,
∴四邊形BCDE為正方形,
可得Rt△ADE中,AE=AB-CD=1,DE=BC=1,得AD=
AE2+DE2
=
2
,
∵Rt△ABC中,AC=
BC2+AB2
=
5
,
∴Rt△PAC中,PC=
AC2+PA2
=
5+x2
,同理可得PD=
2+x2

∵△PDC中,CD=1,∠PDC=120°,
∴由余弦定理,得PC2=CD2+PD2-2PC•PD•cos120°,即5+x2=12+2+x2+
2+x2
,
解之得x=
2
,即四棱錐P-ABCD的高PA=
2

∵梯形ABCD的面積S=
1
2
(AB+CD)×BC=
1
2
(1+2)×1=
3
2
,
∴四棱錐P-ABCD的體積V=
1
3
×S梯形ABCD×PA=
1
3
×
3
2
×
2
=
2
2
點(diǎn)評:本題給出特殊四棱錐,求證面面垂直并求錐體的體積.著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積求法等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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