Question

已知函數(shù)f(x)=sinx+

3

cosx．
（Ⅰ）求f（x）的周期和振幅；
（Ⅱ）在給出直角坐標系中用五點作圖法：列表作出f（x）在一個周期內(nèi)的圖象．
（Ⅲ）求出函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間，并寫出其所有的對稱點和對稱軸．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用和角的三角函數(shù)公式化簡函數(shù)，即可求得f（x）的周期和振幅；
（Ⅱ）整體思考，可列出表格，從而得到函數(shù)的圖象；
（Ⅲ）整體思考，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）y=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=2(sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

)=2sin(x+

π

3

)．（2分）
∴函數(shù)f（x）的周期為T=2π，振幅為2．（4分）
（Ⅱ）列表：

x	- π 3	π 6	2π 3	7π 6	5π 3
x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
y=2sin(x+ π 3 )	0	2	0	-2	0

圖象如上（作圖不規(guī)范者扣1分）．（（6分），注意表格（1分），圖象1分）
（Ⅲ）由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)解得：2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

(k∈Z)
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，(k∈Z)（8分）
x+

π

3

=

π

2

+kπ，∴x=

π

6

+kπ，(k∈Z)（9分）

∵x+ π 3 =kπ

，∴x=-

π

3

+kπ，
∴對稱點為

- π 3 +kπ，0)(k∈

Z)（10分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．