Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，

點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，滿足，

其中是坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)作軸平行線，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，直線與

相交于點(diǎn)．若是以為一條腰的等腰三角形，求直線的方程

Answer 1

（1），，，設(shè)直線代入中，

整理得。設(shè)，則，

又， ， 由    

得，  解得  或（舍），得

所以橢圓的方程為.                     （7分）

（2）橢圓的左頂點(diǎn)，所以點(diǎn). 易證三點(diǎn)共線.

(I)當(dāng)為等腰的底邊時(shí)，由于，是線段的中點(diǎn)，

，所以，即直線的方程為；        （11分）

 (II) 當(dāng)為等腰的底邊時(shí)，   又，

     解得，或   ，

所以直線的方程為，即；       （15分）

綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直線的方程為或.