Question

已知數列{a_n}的前n和為S_n，其中an=

Sn

n(2n-1)

且a1=

1

3

（1）求a₂，a₃；
（2）猜想數列{a_n}的通項公式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

（1）a2=

S2

2(2×2-1)

=

a1+a2

6

又a1=

1

3

，則a2=

1

15

，類似地求得a3=

1

35

（2）由a1=

1

1×3

，a2=

1

3×5

，a3=

1

5×7

…
猜得：an=

1

(2n-1)(2n+1)

以數學歸納法證明如下：
①當n=1時，由（1）可知等式成立；
②假設當n=k時猜想成立，即ak=

1

(2k-1)(2k+1)

那么，當n=k+1時，由題設an=

Sn

n(2n-1)

得ak=

Sk

k(2k-1)

，ak+1=

Sk+1

(k+1)(2k+1)

所以S_k=k（2k-1）a_k=k（2k-1）

1

(2k-1)(2k+1)

=

k

2k+1

S_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1a_k+1=S_K+1-S_K=（k+1）（2k+1）a_k+1-

k

2k+1

因此，k(2k+3)ak+1=

k

2k+1

所以ak+1=

1

(2k+1)(2k+3)

=

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

這就證明了當n=k+1時命題成立．
由①、②可知命題對任何n∈N^*都成立．