Question

據(jù)宜昌市氣象部門統(tǒng)計，宜昌地區(qū)每年最低氣溫在-2⁰C以下的概率為

1

3

（1）設(shè)ξ為宜昌地區(qū)從2005年到2010年最低氣溫在-2⁰C以下的年數(shù)，求ξ的分布列．
（2）設(shè)η為宜昌地區(qū)從2005年到2010年首次遇到最低氣溫在-2⁰C以下經(jīng)過的年數(shù)，求η的分布列．
（3）求宜昌地區(qū)從2005年到2010年至少遇到一次最低氣溫在-2⁰C以下的概率．

Answer 1

分析：（1）將每年的氣溫情況看做一次試驗，且每次實驗結(jié)果是相互獨立的，故ξ～B(6，

1

3

)，所以ξ的分布列為P(ξ=k)=

C

k 6

(

1

3

)k(

2

3

)6-k，k=0，1，2，3，4，5，6，列出表格即可；
（2）由于η表示宜昌地區(qū)從2005年到2010年首次遇到最低氣溫在-2⁰C以下經(jīng)過的年數(shù)，顯然η是隨機變量，其取值為0，1，2，3，4，5，然后分別求出其概率，列出η的分布列即可；
（3）宜昌地區(qū)從2005年到2010年至少遇到一次最低氣溫在-2⁰C以下的事件為（ξ≥1）={ξ=1或ξ=2，…，ξ=6}，利用對立事件的概率進行計算即可．

解答：解：（1）將每年的氣溫情況看做一次試驗，則遇到最低氣溫在-2⁰C以下的概率為

1

3

，且每次實驗結(jié)果是相互獨立的．  
故ξ～B(6，

1

3

)，以此為基礎(chǔ)求ξ的分布列，所以ξ的分布列為P(ξ=k)=

C

k 6

(

1

3

)k(

2

3

)6-k，k=0，1，2，3，4，5，6

ξ	0	1	2	3	4	5	6
P	( 2 3 )6	6× 1 3 •( 2 3 )5	15×( 1 3 )2•( 2 3 )4	20×( 1 3 )3•( 2 3 )3	15×( 1 3 )4•( 2 3 )2	6×( 1 3 )5•( 2 3 )1	( 1 3 )6

（2）由于η表示宜昌地區(qū)從2005年到2010年首次遇到最低氣溫在-2⁰C以下經(jīng)過的年數(shù)，顯然η是隨機變量，其取值為0，1，2，3，4，5，
其中{η=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k年沒有遇到最低氣溫在-2⁰C以下的情況，但在第k+1年遇到了最低氣溫在-2⁰C以下的情況，故各概率應(yīng)按獨立事件同時發(fā)生計算．P(η=k)=(

2

3

)k

1

3

，(k=0，1，2，3，4，5)
而{η=6}表示這6年沒有遇到最低氣溫在-2⁰C以下的情況，
故其概率為P(η=6)=(

2

3

)6，因此η的分布列為：

η	0	1	2	3	4	5	6
P	1 3	1 3 • 2 3	1 3 •( 2 3 )2	1 3 •( 2 3 )3	1 3 •( 2 3 )4	1 3 •( 2 3 )5	( 2 3 )6

（3）宜昌地區(qū)從2005年到2010年至少遇到一次最低氣溫在-2⁰C以下的事件為（ξ≥1）={ξ=1或ξ=2，…，ξ=6}
所以P(ξ≥1)=

6

i=1

P(ξ=k)=1-P(ξ=0)=1-(

2

3

)6=

665

729

≈0.9122

點評：本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列，以及相互獨立事件的概率計算，同時考查了計算能力，屬于中檔題．