Question

在平面直角坐標系xoy中，已知直線l：8x+6y+1=0，圓C₁：x²+y²+8x-2y+13=0，圓C₂：x²+y²+8tx-8y+16t+12=0．
（1）當t=-1時，試判斷圓C₁與圓C₂的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若圓C₁與圓C₂關(guān)于直線l對稱，求t的值；
（3）在（2）的條件下，若P（a，b）為平面上的點，是否存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁與圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，若存在，求點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求得兩圓的圓心距，與半徑半徑，即可求得結(jié)論；
（2）確定圓C₂的圓心與半徑，兩圓圓C₁與圓C₂關(guān)于直線l對稱，直線l的斜率，可求t的值；
（3）利用圓C₁與圓C₂的半徑相等，又直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，可得圓C₁的圓心到直線l₁距離，和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）t=-1時，圓C₁的圓心C₁（-4，1），半徑r₁=2；圓C₂的圓心C₂（4，4），半徑r₂=2
∴圓心距|C₁C₂|=

73

＞r₁+r₂=8
∴兩圓相離
（2）圓C₂的圓心C₂（-4t，4），半徑r₂=

16t2-16t+4

∵圓C₁與圓C₂關(guān)于直線l對稱，又直線l的斜率k1=-

4

3

由

4-1 -4t+4 = 3 4 8× -4t-4 2 +6× 4+1 2 +1=0 16t2-16t+4=4

得t=0；，
（3）假設(shè)存在P（a，b）滿足條件：不妨設(shè)l₁的方程為y-b=k（x-a）（k≠0）
則l₂的方程為y-b=-

1

k

(x-a)
因為圓C₁與圓C₂的半徑相等，又直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，
所以圓C₁的圓心到直線l₁距離，和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，
即

|-4k-1+b-ka|

k2+1

=

|4-b- a k |

1+ 1 k2

整理得|（a+4）k-b+1|=|（b-4）k+a|
即（a+4）k-b+1=（b-4）k+a或（a+4）k-b+1=（4-b）k-a
即（a-b+8）k-a-b+1=0或（a+b）k+a-b+1=0
因為k取值無窮多個
所以

a-b+8=0 -a-b+1=0

或

a+b=0 a-b+1=0

解得

a=- 7 2 b= 9 2

或

a=- 1 2 b= 1 2

∴這樣的點P可能是P₁（-

7

2

，

9

2

），P₂（-

1

2

，

1

2

）
∴所求點P的坐標為（-

7

2

，

9

2

）和（-

1

2

，

1

2

）．

點評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查圓的對稱性，考查存在性問題的探求，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．