已知復(fù)數(shù)，，復(fù)數(shù)，z2w3在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別為P、Q，證明△OPQ是等腰直角三角形(其中O為原點).

證法一：由z=－i=cos(－)+isin(－),

則z3=－i，又w=+i=cos+isin,

故w4=－1,于是

由此可得OP⊥OQ,且｜OP｜=｜OQ｜，△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形.

證法二：∵z=－i=cos(－)+isin(－)w=+i=cos+isin

∴zw=cos+isin

=cos(－)+isin(－),Equation.3=cos(－+)+isin(－+)

=cos+isin。

因此，OP與OQ的夾角為－(－)=

所以OP⊥OQ

又｜OP｜=｜｜=1，｜OQ｜=｜z2w2｜=1,所以｜OP｜=｜OQ｜，即得△OPQ是以點Q為直角頂點的等腰直角三角形.

證法三：同證法一，得q3=－i. w4=－1,

∴｜OP｜=｜z2w3｜=｜z2｜｜w3｜=1

｜OQ｜=｜｜=｜z｜?｜w｜=1

｜PQ｜2=(z2w3－)

=(z2w3－)(－zw)

=2－z3w4－

=2－i－(－i)

=2=｜OP｜2＋｜OQ｜2

故△OPQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形.

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