Question

已知函數(shù)g(x)=-4cos2(x+

π

6

)+4sin(x+

π

6

)-a，把函數(shù)y=g（x）的圖象按向量

a

=(-

π

3

，1)平移后得到y(tǒng)=f（x）的圖象．
（1）求函數(shù)y=log

1

2

[f(x)+8+a]的值域；
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

2π

3

]時(shí)f（x）=0恒有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先將根據(jù)函數(shù)g（x）的圖象按向量

a

=(-

π

3

，1)平移后得到y(tǒng)=f（x）的圖象，求出y=f（x）的解析式，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于cosx的二次函數(shù)，根據(jù)cosx的范圍求出f（x）+8+a的范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)y=log

1

2

[f(x)+8+a]的值域；
（2）根據(jù)x∈[-

π

4

，

2π

3

]，求出cosx的范圍，從而求出f（x）的范圍，要使f（x）=0恒有解，只需f（x）的最小值恒小于等于另且最大值恒大于等于零即可．

解答：解：把函數(shù)g(x)=-4cos2(x+

π

6

)+4sin(x+

π

6

)-a
按向量

a

(-

π

3

，1)
平移后得f(x)=-4sin2x+4cosx+1-a=4(cosx+

1

2

)2-4-a（2分）
（1）y=log

1

2

[f(x)+8+a]=log

1

2

[4(cosx+

1

2

)2+4]（3分）
∵-1≤cosx≤1，∴-

1

2

≤cosx+

1

2

≤

3

2

，0≤(cosx+

1

2

)2≤

9

4

（5分）
則函數(shù)y=log

1

2

[f(x)+8+a]的值域?yàn)?span id="na9fd4k" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[log

1

2

13，-2]；（7分）
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

2π

3

]時(shí)，-

1

2

≤cosx≤1，由f(x)=4(cosx+

1

2

)2-4-a得
∴-4-a≤f（x）≤5-a（9分）∵f（x）=0恒有解，∴

5-a≥0 -4-a≤0

，（11分）
即-4≤a≤5（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的值域的求解，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．