Question

設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足

x-4y+4≥0 2x-3y-2≤0

（x≥0，y≥0），若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則log₂（

1

a

+

2

b

）的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)取得最大值，確定a，b的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-

a

b

x+

z

b

的斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)，z也最大．
平移直線y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，
直線的截距最大，此時(shí)z也最大．
由

x-4y+4=0 2x-3y-2=0

，解得

x=4 y=2

，即B（4，2）．
此時(shí)z=4a+2b=1，
則

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（4a+2b）=4+4+

2b

a

+

8a

b

≥8+2

2b a • 8a b

=8+8=16，
當(dāng)且僅當(dāng)

2b

a

=

8a

b

，即b=2a=

1

4

時(shí)取=號，
即

1

a

+

2

b

的最小值為 16，
則log₂（

1

a

+

2

b

）的最小值為log₂16=4，
故答案為：4

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法，利用基本不等式求

1

a

+

2

b

的最小值．