Question

已知：a，b，c，d∈R．
（Ⅰ）求證：（ac-bd））²≥（a²-b²）（c²-d²）
（Ⅱ）若點(diǎn)P（

1

cosα

，tanα）在直線ax-by-2=0上，求證：a²-b²≤4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)（ad-bc）²≥0，得到a²d²-2abcd+b²c²≥0，即可得到a²c²+b²d²-2abcd≥a²c²-a²d²-b²c²+b²d²，整理即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）先根據(jù)點(diǎn)P（

1

cosα

，tanα）在直線ax-by-2=0上，得到a

1

cosα

-btanα-2=0，即a

1

cosα

-btanα=2；再結(jié)合上一問的結(jié)論即可得證．

解答：證明：（Ⅰ）因?yàn)椋╝d-bc）²≥0，
所以a²d²-2abcd+b²c²≥0，
所以a²c²+b²d²-2abcd≥a²c²-a²d²-b²c²+b²d²，
所以（ac-bd）²≥（a²-b²）（c²-d²）．
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)P（

1

cosα

，tanα）在直線ax-by-2=0上，
所以a

1

cosα

-btanα-2=0，
可得：a

1

cosα

-btanα=2．
由（Ⅰ）可知，(a

1

cosα

-btanα)2≥（a²-b²）[

1

(cosα)2

-(tanα)2]=a²-b²．
所以a²-b²≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明．解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)（ad-bc）²≥0，得到a²d²-2abcd+b²c²≥0，進(jìn)而得到a²c²+b²d²-2abcd≥a²c²-a²d²-b²c²+b²d²．