Question

1．求與橢圓9x²+5y²=45有共同的焦點，且經過點M（2，$\sqrt{6}$）的橢圓的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

Answer 1

分析 將橢圓方程轉化標準方程：$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{5}=1$，橢圓的焦點在y軸，c=2，設橢圓方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}=1$，將M（2，$\sqrt{6}$）代即可求得a的值，即可求得橢圓方程．

解答 解：橢圓9x²+5y²=45化成標準方程，得$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{5}=1$，
∴橢圓的焦點在y軸，且c²=9-5=4，得c=2，焦點為（0，2），（0，-2）．
∵所求橢圓經過點M（2，$\sqrt{6}$）且與已知橢圓有共同的焦點，
∴設橢圓方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}=1$，將M（2，$\sqrt{6}$）代入$\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-4}=1$，
解得：a²=12，
因此所求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的焦點的求法，考查計算能力，屬于中檔題．