Question

已知橢圓D：

x2

4

+y²=1與圓M：x²+（y-m）²=9 （m∈R），雙曲線G與橢圓D有相同的焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切．
（1）當(dāng)m=6時(shí)，求雙曲線G的方程；
（2）若雙曲線的兩條準(zhǔn)線間的距離范圍是[1，

3

]，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可根據(jù)橢圓

x2

4

+y²=1及雙曲線G與橢圓D有相同的焦點(diǎn)，求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)雙曲線的方程，得到有a²+b²=3 
（1）當(dāng)m=6時(shí)，圓心坐標(biāo)為（0，6），半徑為3，由于雙曲線的兩條漸近線恰好與圓M相切，由此得方程3=

|6a|

a2+b2

，解此方程求得a的值，再結(jié)合a²+b²=3求出b的值即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）雙曲線的兩條準(zhǔn)線間的距離范圍是[1，

3

]，可得

2a2

3

∈[1，

3

]，從中解出a²∈[

3

2

，

3

2

]，再由雙曲線的兩條漸近線恰好與圓M相切得到3=

|ma|

a2+b2

，將其整理為m²=

27

a2

，將a²的取值范圍代入，即可求得m的取值范圍．

解答：解：由題意橢圓D：

x2

4

+y²=1知其焦點(diǎn)在X軸上，且焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-

3

，1）與（

3

，1）
又雙曲線G與橢圓D有相同的焦點(diǎn)，可設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，故有a²+b²=3  ①
漸近線方程為y=±

b

a

x，即ay±bx=0
（1）當(dāng)m=6時(shí)，圓心坐標(biāo)為（0，6），半徑為3
由于雙曲線的兩條漸近線恰好與圓M相切，故有圓心（0，6）到雙曲線漸近線的距離是3，
∴3=

|6a|

a2+b2

，由③得a²+b²=3，故有a=

3

2

，b=

3

2

∴雙曲線G的方程為

x2

3 4

-

y2

9 4

=1
答：當(dāng)m=6時(shí)，雙曲線G的方程是

x2

3 4

-

y2

9 4

=1
（2）由題意雙曲線的兩條準(zhǔn)線間的距離范圍是[1，

3

]，得

2a2

3

∈[1，

3

]，解得a²∈[

3

2

，

3

2

]②
又圓心坐標(biāo)為（0，m），半徑為3
由于雙曲線的兩條漸近線恰好與圓M相切，故有圓心（0，m）到雙曲線漸近線的距離是3，
∴有點(diǎn)到直線的距離公式得到3=

|ma|

a2+b2

，由③得a²+b²=3，得|m|=

3 3

a

，即m²=

27

a2

，
由②得m²∈[18，18

3

]
又m∈R，可得m∈[3

2

，3

4	12

]∪[-3

4	12

，-3

2

]
答：m的取值范圍是[3

2

，3

4	12

]∪[-3

4	12

，-3

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓錐曲線的綜合題目，本題解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用圓與圓錐曲線的性質(zhì)來(lái)解題，本題可以作為壓軸題目出現(xiàn)在大型考試中，是一個(gè)難題．