Question

已知正四棱柱中，是的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面平面？若存在，求出的值并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析

試題分析：（1）連結(jié)交于，連結(jié)，在正四棱柱中底面為正方形，所以可知為的中點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050121284399.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，由中位線可得∥.根據(jù)線面平行的判定定理即可證得平面。（2）由正四棱柱可知側(cè)棱垂直與底面，從而可得側(cè)棱垂直與，因?yàn)榈酌鏋檎�方形可�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050121706571.png" style="vertical-align:middle;" />，由線面垂直的判定定理可證得平面，從而得證。（3）取的中點(diǎn)，連結(jié)，可證得為平行四邊形，從而得到，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，同理可證的為平行四邊形，從而可得，由平行公理可知，在證也為平行四邊形，從而可證得，根據(jù)面面平行的判定定理可證得平面平面，此時(shí)。

解：（1）在正四棱柱中,連結(jié)交于，連結(jié).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050122033528.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，
所以為中點(diǎn).                                        1分
在中，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050121284399.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，
所以∥.                                          2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050121550513.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，                 4分
所以∥平面.                                    5分
（2） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050122033528.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，
所以.          6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050122470397.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以.         7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050122517554.png" style="vertical-align:middle;" />,      8分
所以平面.    9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050122564622.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.          10分
（3）當(dāng)，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面平面. 11分     
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050122657564.png" style="vertical-align:middle;" />且，
所以四邊形是平行四邊形.             
所以.                                          12分
取的中點(diǎn)，連結(jié).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050121284399.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形.                        
所以.                                         13分
同理.
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050122907659.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以平面平面.                              14分