Question

用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．
（Ⅰ）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）在組成的三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)字0不能排在首位，末位是0時(shí)又是偶數(shù)，所以針對(duì)于0進(jìn)行討論，當(dāng)末位是0時(shí)，十位和百位從4個(gè)元素中選兩個(gè)進(jìn)行排列，當(dāng)末位不是0時(shí)，只能從2和4中選一個(gè)，百位從3個(gè)元素中選一個(gè)，十位從三個(gè)中選一個(gè)．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（Ⅱ）十位上的數(shù)為0，1，2，分類討論即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）1和3兩個(gè)奇數(shù)夾著0時(shí)，把這三個(gè)元素看做一個(gè)整體，和另外兩個(gè)偶數(shù)全排列，其中1和3之間還有一個(gè)排列，共有2A₃³種結(jié)果，1和3兩個(gè)奇數(shù)夾著2時(shí)，注意0不能放在首位，當(dāng)1和3兩個(gè)奇數(shù)夾著4時(shí)，同理，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知，
當(dāng)末位是0時(shí)，十位和百位從4個(gè)元素中選兩個(gè)進(jìn)行排列有A₄²=12種結(jié)果，
當(dāng)末位不是0時(shí)，只能從2和4中選一個(gè)，百位從3個(gè)元素中選一個(gè)，十位從三個(gè)中選一個(gè)共有A₂¹A₃¹A₃¹=18種結(jié)果，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有12+18=30種結(jié)果；
（Ⅱ）十位上的數(shù)為0時(shí)，有4×3=12個(gè)，十位上的數(shù)為1時(shí)，有3×2=6個(gè)，十位上的數(shù)為2時(shí)，有2×1=2個(gè)，共有20個(gè)；
（Ⅲ）1和3兩個(gè)奇數(shù)夾著0時(shí)，把這三個(gè)元素看做一個(gè)整體，和另外兩個(gè)偶數(shù)全排列，其中1和3之間還有一個(gè)排列，共有2A₃³=12種結(jié)果，
1和3兩個(gè)奇數(shù)夾著2時(shí)，同前面類似，只是注意0不能放在首位，共有2C₂¹A₂²=8，
當(dāng)1和3兩個(gè)奇數(shù)夾著4時(shí)，也有同樣多的結(jié)果，共有2C₂¹A₂²=8，
根據(jù)分類加法原理得到共有12+8+8=28種結(jié)果．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)數(shù)問(wèn)題，有時(shí)分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決，即類中有步，步中有類．