Question

2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，C=$\frac{π}{3}$，a=5，△ABC的面積為10$\sqrt{3}$．
（1）求b，c的值；
（2）求cos（B-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC，可得b，利用余弦定理可得c的值．
（2）根據(jù)正弦定理求出sinB和cosB，和與差公式打開(kāi)cos（B-$\frac{π}{3}$）即可求出值．

解答 解：（1）∵△ABC的面積為10$\sqrt{3}$．
即S=$\frac{1}{2}$absinC=$10\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，a=5，
∴b=8．
由余弦定理：c²=b²+a²-2bacosC，
可得c=7．
（2）由（1）可知b=8，C=$\frac{π}{3}$，c=7．
正弦定理：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$
那么：cosB=$\frac{1}{7}$
則cos（B-$\frac{π}{3}$）=cosBcos$\frac{π}{3}$+sinBsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{7}+\frac{4\sqrt{3}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{13}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理的運(yùn)用和同角三角函數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．