Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，不等式x²cosC+4xsinC+6≥0對一切實(shí)數(shù)x恒成立．
（Ⅰ）求cosC的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)∠C取最大值，且c=2時(shí)，求△ABC面積的最大值并指出取最大值時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知條件及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得cosC＞0，且2cos²C+3cosC-2≥0，由此解得cosC的值． 
（Ⅱ）根據(jù)角C的范圍可得當(dāng)∠C取最大值時(shí) ∠C=

π

3

，由余弦定理和基本不等式求得ab≤4，從而得到△ABC面積的最大值，根據(jù)不等式中等號成立條件判斷△ABC的形狀．

解答：解：（Ⅰ）由已知得：

cosC＞0 (4sinC)2-24cosC≤0

?2cos2C+3cosC-2≥0，
∴cosC≥

1

2

，或cosC≤-2（{舍去}）．∴

1

2

≤cosC＜1．
（Ⅱ）∵0＜C＜π，cosC≥

1

2

，∴當(dāng)∠C取最大值時(shí)，∠C=

π

3

．
由余弦定理得：2²=a²+b²-2ab•cos

π

3

?4=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
∴S△ABC=

1

2

ab•sin

π

3

=

3

4

ab≤

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號，此時(shí)(S△ABC)max=

3

，
由a=b，∠C=

π

3

可得△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，余弦定理、基本不等式的得應(yīng)用，求出角C的最大值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．