Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求證：f（x）在R上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）首先分式看分母，顯然f（x）的定義域?yàn)镽，判斷函數(shù)的定義域，首先看定義域是否對(duì)稱，再驗(yàn)證f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，進(jìn)行判斷；
（2）用定義法證明f（x）為增函數(shù)，同時(shí)利用的對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
所以f（-x）+f（x）=（1-

2

2-x+1

）+（1-

2

2x+1

）=2-（

2

2x+1

+

2

2-x+1

）
=2-（

2

2x+1

+

2•2x

2x+1

）=2-

2(2x+1)

2x+1

=2-2=0，
即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有，f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，利用定義法證明函數(shù)是增函數(shù)是常規(guī)的方法，我們要熟練掌握；