Question

已知函數(shù)y=f（x）為R上的奇函數(shù)，y=f（x）的導數(shù)為f'（x），且當x∈（-∞，0]時，不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）對一切恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，-2]∪[0，+∞）
分析：根據(jù)[xf（x）]′=f（x）+xf'（x），構造函數(shù)F（x）=xf（x），由題意分析可得F（x）在（-∞，0]的單調(diào)性、奇偶性，從而可得F（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，又由題意|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）對于一切θ∈[-，]恒成立，則有|a+1|≥|sinθ|對于一切θ∈[-，]恒成立，又由y=sinx的性質(zhì)分析可得|sinθ|的最大值為1，進而可得|a+1|≥1恒成立，解可得答案．
解答：令F（x）=xf（x），則F′（x）=f（x）+xf'（x），
當x∈（-∞，0]時，不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，即F′（x）＜0，
則F（x）在（-∞，0]為減函數(shù)，
又由函數(shù)y=f（x）為R上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），
則F（-x）=（-x）f（-x）=xf（x）=F（x），故F（x）在R上為偶函數(shù)；
又由F（x）在（-∞，0]為減函數(shù)，則F（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，
若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）對于一切θ∈[-，]恒成立，
則有|a+1|≥|sinθ|對于一切θ∈[-，]恒成立，
而當θ∈[-，]時，|sinθ|≤1，
則必有|a+1|≥1成立，
解可得，a≤-2或a≥0，即a的取值范圍是（-∞，-2]∪[0，+∞）；
故答案為（-∞，-2]∪[0，+∞）．
點評：本題函數(shù)函數(shù)恒成立問題，涉及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的應用與復合函數(shù)的求導計算，關鍵是根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)[xf（x）]′=f（x）+xf'（x），進而構造函數(shù)F（x）=xf（x），分析F（x）的單調(diào)性與奇偶性，從而解題．