Question

7．若0＜x＜1，則$\frac{sinx}{x}，{（\frac{sinx}{x}）^2}$與$\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$的大小關系為（　�。�

• A． ${（\frac{sinx}{x}）^2}＜\frac{{sin{x^2}}}{x^2}＜\frac{sinx}{x}$
• B． $\frac{{sin{x^2}}}{x^2}＜\frac{sinx}{x}＜{（\frac{sinx}{x}）^2}$
• C． ${（\frac{sinx}{x}）^2}＜\frac{sinx}{x}＜\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$
• D． $\frac{sinx}{x}＜\frac{{sin{x^2}}}{x^2}＜{（\frac{sinx}{x}）^2}$

Answer 1

分析 先構造函數f（x）=x-sinx，根據導數判斷sinx＜x，再構造函數g（x）=$\frac{sinx}{x}$，根據導數求出函數的單調性，再利用單調性即可判斷．

解答 解：令f（x）=x-sinx，0＜x＜1．
∴f′（x）=1-cosx＞0，
函數f（x）單調遞增．
∴f（x）＞f（0）=0，
∴當x∈（0，1）時，
∴sinx＜x
再g（x）=$\frac{sinx}{x}$，
則g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{\frac{x-tanx}{{x}^{2}}}{cosx}$，
∵0＜x＜1＜$\frac{π}{2}$＜tanx
∴g′（x）＜0，
故函數g（x）單調遞減，
∴$\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$＜$\frac{sinx}{x}$＜$\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$，
故選：C

點評 本題考查導數和函數的單調性關系，以及比較大小的方法，關鍵時構造函數，屬于中檔題．