Question

已知三次函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）如果f（x）是奇函數(shù)，過點（2，10）作y=f（x）圖象的切線l，若這樣的切線有三條，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)-1≤x≤1時有-1≤f（x）≤1，求a，b，c的所有可能的取值．

Answer 1

分析：（1））由于f（x）是奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x）解得a=c=0；設(shè)切點為P（t，4t³+bt），利用導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，得到切線l的方程為y-（4t³+bt）=（12t²+b）（x-t），
把點（2，10）代人得到關(guān)于t的三次方程；要使切線l有三條，當(dāng)且僅當(dāng)g（t）=0有三個實數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)即可得出又三個實數(shù)根的充要條件，解出即可．
（2）由題意，當(dāng)x=±1，±

1

2

時，均有-1≤f（x）≤1，利用上述條件即可得出a，b，c的值，再利用導(dǎo)數(shù)加以證明即可．

解答：解 （1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴由f（-x）=-f（x）得a=c=0，
∴f（x）=4x³+bx，f^′（x）=12x²+b．
設(shè)切點為P（t，4t³+bt），則切線l的方程為y-（4t³+bt）=（12t²+b）（x-t），
由于切線l過點（2，10），∴10-（4t³+bt）=（12t²+b）（2-t），整理得b=4t³-12t²+5，
令g（t）=4t³-12t²+5-b，則g′（t）=12t²-24t=12t（t-2），
∴g（t）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，
要使切線l有三條，當(dāng)且僅當(dāng)g（t）=0有三個實數(shù)根，
g（t）=0有三個實數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)g（0）＞0，且g（2）＜0，解得-11＜b＜5．
（2）由題意，當(dāng)x=±1，±

1

2

時，均有-1≤f（x）≤1，故
-1≤4+a+b+c≤1，①
-1≤-4+a-b+c≤1，
即-1≤4-a+b-c≤1，②
-1≤

1

2

+

a

4

+

b

2

+c≤1，③
-1≤-

1

2

+

a

4

-

b

2

+c≤1，
即-1≤

1

2

-

a

4

+

b

2

-c≤1，④
①+②得-2≤8+2b≤2，從而b≤-3；
③+④得-2≤1+2b≤2，從而b≥-3，故b=-3．
代入①②③④得a+c=0，

a

4

+c=0，從而a=c=0．
下面證明：f（x）=4x³-3x滿足條件．
事實上，f′（x）=12x²-3=3（2x+1）（2x-1），所以f（x）在（-1，-

1

2

）上單調(diào)遞增，在（-

1

2

，

1

2

）上單調(diào)遞減，在（

1

2

，1）上單調(diào)遞增，
而f（-1）=-1，f（-

1

2

）=1，f（

1

2

）=-1，f（1）=1，所以當(dāng)-1≤x≤1時 f（x）滿足-1≤f（x）≤1．

點評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、切線方程、三次方程由三個實數(shù)根的充要條件及函數(shù)的奇偶性等基礎(chǔ)知識與方法，要求有較強(qiáng)的推理能力和計算能力．