已知z是復數(shù)，z+3i、
z3-i
均為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），
（1）求復數(shù)z；
（2）求一個以z為根的實系數(shù)一元二次方程．
分析：（1）設z=x+yi（x、y∈R），根據(jù)z+3i、
z
3-i
均為實數(shù)可求出x與y的值，從而求出所求；
（2）若實系數(shù)一元二次方程有虛根z=9-3i，則必有共軛虛根
.
z
=9+3i，求出z+
.
z
與z•
.
z
根據(jù)根與系數(shù)的關系可得一個以z為根的實系數(shù)一元二次方程．
解答：解：（1）設z=x+yi（x、y∈R），
z+3i=x+（y+3）i，由題意得 y=-3．…（3分）
z
3-i
=
x-3i
3-i
=
1
10
(3x+3)+
1
10
(x-9)i
由題意得x=9．∴z=9-3i．…（7分）
（2）若實系數(shù)一元二次方程有虛根z=9-3i，則必有共軛虛根
.
z
=9+3i．…（10分）
z+
.
z
=18，z•
.
z
=90，…（12分）
∴所求的一個一元二次方程可以是x2-18x+90=0．…（14分）
點評：本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，以及根與系數(shù)的關系，同時考查了共軛復數(shù)等基本概念，屬于基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知m∈R，復數(shù)z=
m-2m-1
+(m2+2m-3)i，當m為何值時．
（1）z∈R；
（2）z是純虛數(shù)； 
（3）z對應的點位于復平面的第二象限．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知z是復數(shù)，
.
z
+2
2-i
=1+i，則z等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)z滿足（z-3）i=1-i，則復數(shù)z的模是
5
5
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知z是復數(shù)，
.
z
+2
2-i
=1+i，則z等于（　　）
A．1-iB．2+iC．1-2iD．3+i

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年吉林省吉林一中高二（下）期末數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知z是復數(shù)，，則z等于（ ）
A．1-i
B．2+i
C．1-2i
D．3+i

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