Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=3，an+an-1=4n (n≥2)
（1）求證：數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+an-1=4n (n≥2)①，得an+1+an=4(n+1) (n≥2)②，兩式相減得一遞推式，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（2）由a₁=3，易求a₂=5，根據(jù)等差數(shù)列可得a_2n-1，a_2n，通過變形整理可得a_n；
（3）利用錯(cuò)位相減法即可求得S_n．

解答：（1）由an+an-1=4n (n≥2)①，
得an+1+an=4(n+1) (n≥2)②，
②-①得an+1-an-1=4 (n≥2)，
所以數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等差數(shù)列，且公差都為4．
（2）由a₁=3，a₂+a₁=8得a₂=5，
故a_2n-1=3+4（n-1）=4n-1，a_2n=5+4（n-1）=4n+1，
由于a_2n-1=4n-1=2（2n-1）+1，a_2n=4n+1=2（2n）+1，所以a_n=2n+1；
（3）bn=

an

2n

=

2n+1

2n

，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

①，

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n+1

2n+1

②，
①-②得，

1

2

Sn=

3

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

=

3

2

+

2 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

，
所以Sn=5-

2n+5

2n

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式、利用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和，考查學(xué)生解決問題的能力．