如圖,△ABC中,∠C=90o,∠A=45o,DC⊥平面ABC,DC=6,G為△ABC的重心M為GD上的一點(diǎn),∠MCG=45o
(1)求證AB⊥DG;
(2)求二面角G-MC-B的大。

解:(1)在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90o故△ABC為等腰直角三角形
∵G為△ABC的重心,∴AB⊥GC①
又∵DC⊥平面ABC,AB平面ABC∴AB⊥DC②
由①②及DC∩GC=C知AB⊥面DGC,
∵DG?面DGC,∴AB⊥DG(6分)
(2)延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)N∵G為△ABC的重心∴N是AB的中點(diǎn)
∵∠ACB=90o
連接DN延長(zhǎng)CM交DN于點(diǎn)C,由CN=DC=6,∠MCG=45o
知CE⊥DN,則E是DN的中點(diǎn),連接BE,由AB⊥面DGC,知BE⊥CE
故∠BEN為二面角G-MC-B的平面角(9分)
在Rt△BEN中,BN=6,EN=,∴
∴二面角G-MC-B的大小是(12分)
分析:(1)欲證AB⊥DG,而DG?面DGC,故先證AB⊥面DGC,而AB⊥GC,AB⊥DC,DC∩GC=C,滿足線面垂直的判定定理,從而問(wèn)題得證;
(2)延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)N,G為△ABC的重心則N是AB的中點(diǎn),連接DN延長(zhǎng)CM交DN于點(diǎn)C,連接BE,根據(jù)二面角平面角的定義可知∠BEN為二面角G-MC-B的平面角,在Rt△BEN中,求出此角即可.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì),以及與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,同時(shí)考查了空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△ABC中,BC=2
3
,
AB
AC
=4,
AC
CB
=2
,雙曲線M是以B、C為焦點(diǎn)且過(guò)A點(diǎn).
(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求雙曲線M的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)E(1,0)的直線l分別與雙曲線M的左、右支交于
F、G兩點(diǎn),直線l的斜率為k,求k的取值范圍.;
(Ⅲ)對(duì)于(Ⅱ)中的直線l,是否存在k≠0使|OF|=|OG|若有求出k的值,若沒(méi)有說(shuō)明理由.(O為原點(diǎn))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,△ABC中,
AN
=
1
3
NC
,若
BP
=n
BN
,
AP
=m
AB
+
2
11
AC
,求實(shí)數(shù)m、n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△ABC中,AB=AC,AD是中線,P為AD上一點(diǎn),CF∥AB,BP延長(zhǎng)線交AC、CF于E、F,
求證:PB2=PE•PF.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:如圖,△ABC中,∠B=60°,AD,CE是角平分線.
求證:AE+CD=AC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,且AC=2,BC=2.5,AD=1,BD=0.5,則AB的長(zhǎng)為
 
精英家教網(wǎng)

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