Question

如圖，正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都等于2，D在AC₁上，F(xiàn)為BB₁中點(diǎn)，且FD⊥AC₁．
（1）試求的值；
（2）求二面角F﹣AC₁﹣C的大��；
（3）求點(diǎn)C₁到平面AFC的距離．

Answer 1

解：取BC的中點(diǎn)O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由已知得

（1）設(shè)，則，得，

∵FD⊥AC₁．
∴
即
解得λ=1，即．
（2）設(shè)平面FAC₁的一個(gè)法向量為n₁=（x₁，y₁，1）
∵=（1，1，），
由得，
又由，得，
∴
∴=（，，1）
仿上可得平面ACC₁的一個(gè)法向量為．
∵=﹣×+0+1×1=0
∴⊥．故二面角F﹣AC₁﹣C的大小為90°．
（3）設(shè)平面AFC的一個(gè)法向量為，
由得x+y﹣=0
又=（﹣1，0，﹣），
由得．
解得，
∴=（﹣，2，1）
所以C₁到平面AFC的距離為=．