Question

已知函數(shù)f(x)=lg

1+x

1-x

．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）已知a，b∈（-1，1），且滿足f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)，若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

分析：（1）先分析函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再分析f（-x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得答案．
（2）任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1，進(jìn)而判斷f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案．
（3）由（1）中函數(shù)的奇偶性，結(jié)合f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)，若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，可構(gòu)造關(guān)于f（a），f（b）的方程組，解方程組可得答案．

解答：解：（1）若使函數(shù)f(x)=lg

1+x

1-x

的解析式有意義，
自變量x須滿足

1+x

1-x

＞0
∴-1＜x＜1，函數(shù)定義域（-1，1）…（2分）
∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
f（-x）=lg

1-x

1+x

=-lg

1+x

1-x

=-f（x）
故f（x）為奇函數(shù)…（5分）
（2）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增                                 …（7分）
證明：任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1
∵f（x₁）-f（x₂）=lg

1+x1

1-x1

-lg

1+x2

1-x2

=lg

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

而 

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

-1=

2(x1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜lg1=0
即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增                                    …（11分）
（3）∵f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)，f(

a+b

1+ab

)=1，
∴f（a）+f（b）=1…①
∴f(a)+f(-b)=f(

a-b

1-ab

)=f（a）-f（b）
又∵f(

a-b

1-ab

)=2，
f（a）-f（b）=2…②
解得f（a）=

3

2

，f（b）=-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的定義及證明，函數(shù)奇偶性的定義及證明，函數(shù)的定義域，函數(shù)的值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．