函數(shù)f（x）=lnx-ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）對?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的范圍．
【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．減區(qū)間與增區(qū)間的分界點為極值點，且當(dāng)極值點左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)時，為極大值，當(dāng)極值點左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正時，為極小值．
（2）由條件可得＜a（x＞0）恒成立，等價于的最大值＜a，令h（x）=（x＞0），用導(dǎo)數(shù)求出-x的最大值即可．
解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=-2=，令f′（x）=0，得x=，如下表

∴f（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（ ，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）極大值=f（ ）=-ln2-1，無極小值．
（2）由條件可得＜a（x＞0）恒成立，等價于的最大值＜a，
令h（x）=（x＞0），則h′（x）=，
則當(dāng)x∈（0，e）時，h′（x）＞0，又當(dāng)x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，
所以h（x）max=h（e）=，
所以a＞．
點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)已知條件求出導(dǎo)函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
ax
；
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

7、函數(shù)f（x）=lnx-2x+3零點的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-a
x
且g（x）在x=1處取得極值．求a的值及函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
lnx+kex
（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x） 在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e-2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式af（x）≥x-
1
2
x2在x∈（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）n∈N+，求證：
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
ln(n+1)
＞
n
n+1
．

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