Question

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且cosB=

3

4

則cotA+cotC等于

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)cosB大于0，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，然后根據(jù)a，b，c成等比數(shù)列利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到b²=ac，再根據(jù)正弦定理得到一個關(guān)系式，把所求的式子利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式化簡后，將b²=ac代入即可得到所求的式子化為關(guān)于sinB的關(guān)系式，把sinB的值代入即可求出值．

解答：解：因為cosB=

3

4

＞0，所以sinB=

1-cos2B

=

7

4

，
由a，b，c成等比數(shù)列得到b²=ac，根據(jù)正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
而cotA+cotC=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sin(π-B)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

sin2B

sinAsinC

•

1

sinB

=

sinB

sinA

•

sinB

sinC

•

1

sinB

=

b

a

•

b

c

•

1

sinB

=

1

sinB

=

1

7 4

=

4 7

7

故答案為：

4 7

7

點評：此題考查學(xué)生靈活運用正弦定理及等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式化簡取值，是一道中檔題．