Question

已知橢圓：=l（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，1），若該橢圓的離心率等于．
（1）求橢圓的方程．
（2）Q是橢圓上位于x軸下方的一點(diǎn)，F(xiàn)₁F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線QF₁的傾斜角為，求△QF₁F₂的面積；
（3）以B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個(gè)？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知b=1，由離心率為，得，再由a²=b²+c²可求得a，于是得到橢圓方程；
（2）易求直線QF₁的方程，與橢圓方程聯(lián)立可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由三角形面積公式得=，代入即可求得答案；
（3）假設(shè)這樣的三角形存在，設(shè)AB的方程為y=kx+1（k＞0），則BC的方程為y=-x+1，分別于橢圓方程聯(lián)立可求得點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)，由|AB|=|BC|得點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)的方程，綜上可得關(guān)于k的方程，解出即可；
解答：解：（1）依題意，b=1，因?yàn)殡x心率等于，
所以，解得a²=4，
所以橢圓方程為：；
（2）F₁（-，0），直線QF₁：y=，代入中，
得，，又，
所以==；
（3）假設(shè)這樣的三角形存在，設(shè)AB的方程為y=kx+1（k＞0），則BC的方程為y=-x+1，
由，得（4k²+1）x²+8kx=0，解得①，
由，得（k²+4）x²-8kx=0，解得②，
因?yàn)閨AB|=|BC|，得：，
將y_A=kx_A+1，代入得：
，，
將①②代入得：k²（4+k²）²=（4k²+1）²，即[k（4+k²）+1+4k²][k（4+k²）-（1+4k²）]=0，
因?yàn)閗＞0，k（4+k²）+1+4k²＞0，得（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得k=1，k=，k=，
所以存在這樣的等腰直角三角形．
點(diǎn)評：本題考查直線方程、橢圓方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析解決問題的能力．